某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品附加值，改造需要投入，假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與2a-x和x-a的乘積成正比；②數(shù)學(xué)公式；③y＞0．
（I）設(shè)y=f（x），求f（x）表達(dá)式，并求y=f（x）的定義域；
（II）求每萬元技術(shù)改造投入所獲得的平均附加值的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入．

解：（I）設(shè)y=k（2a-x）（x-a），
因?yàn)楫?dāng)，所以k=4
所以y=4（2a-x）（x-a）
因?yàn)?（2a-x）（x-a）＞0，所以a＜x＜2a
所以定義域?yàn)椋╝，2a）；
（II）=-4（x+）+12a≤-4•2+12a=
當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=a時(shí)，每萬元技術(shù)改造投入所獲得的平均附加值的最大．
分析：（I）設(shè)y=k（2a-x）（x-a），利用當(dāng)，可求k=4，從而可得函數(shù)表達(dá)式，即可求得y=f（x）的定義域；
（II）確定每萬元技術(shù)改造投入函數(shù)解析式，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司有價(jià)值a萬元的一條生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，改造就需要投入資金，相應(yīng)就要提高生產(chǎn)產(chǎn)品的售價(jià)．假設(shè)售價(jià)y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與a-x和x的乘積成正比；②x=
a
2
時(shí)y=a2；
③0≤
x
2(a-x)
≤t其中t為常數(shù)，且t∈[0，1]．
（1）設(shè)y=f（x），試求出f（x）的表達(dá)式，并求出y=f（x）的定義域；
（2）求出售價(jià)y的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品附加值，改造需要投入，假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與2a-x和x-a的乘積成正比；②x=
3a2
時(shí)，y=a2；③y＞0．
（I）設(shè)y=f（x），求f（x）表達(dá)式，并求y=f（x）的定義域；
（II）求每萬元技術(shù)改造投入所獲得的平均附加值的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)的附加值．改造需要投入，假設(shè)附加值y（萬元）與技術(shù)改造投入x（萬元）之間的關(guān)系滿足：①y與（a-x）和x2的乘積成正比；②當(dāng)x=
a
2
時(shí)，y=a3；③0≤
x
2(a-x)
≤t，其中常數(shù)t∈（0，2]．
（1）設(shè)y=f（x），求函數(shù)f（x）的解析式與定義域；
（2）求出附加值y的最大值，并求此時(shí)的技術(shù)改造投入x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省福州三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品附加值，改造需要投入，假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與2a-x和x-a的乘積成正比；②；③y＞0．
（I）設(shè)y=f（x），求f（x）表達(dá)式，并求y=f（x）的定義域；
（II）求每萬元技術(shù)改造投入所獲得的平均附加值的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入．

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某公司有價(jià)值a萬元的一條生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，改造就需要投入資金，相應(yīng)就要提高生產(chǎn)產(chǎn)品的售價(jià)．假設(shè)售價(jià)y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與a-x和x的乘積成正比；②y=a2；
③其中t為常數(shù)，且t∈[0，1]．
（1）設(shè)y=f（x），試求出f（x）的表達(dá)式，并求出y=f（x）的定義域；
（2）求出售價(jià)y的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入的x的值．

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