Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]內(nèi)有兩個不等實根，求實數(shù)m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底，e≈2.7）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，AB中點為C（x₀，0），求證：g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（1）由切線方程得函數(shù)在x=2處的切線斜率為-3，即f′（2）=-3，由函數(shù)f（x）=alnx-bx²得其導函數(shù)，進而得f′（2），由f′（2）=-3得關于a、b的方程，又切點在函數(shù)圖象上，也在切線上，當x=2時分別代入兩個函數(shù)方程，函數(shù)值相等，得第二個關于a、b的方程，求解方程組，得a，b的值；
（2）設h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，得出h（x）的圖象的大致走向，得出滿足題意的不等式組，解得實數(shù)m的取值范圍；
（3）由點A（x₁，0），B（x₂，0）在g（x）圖象上，把點的坐標代入g（x）的解析式得方程組，兩式相減得關于x₁、x₂、n的方程，假設g′（x）=0成立，求導，得關于x₀、n的方程，由中點坐標公式轉(zhuǎn)化關于x₁、x₂、n的方程，兩方程消去n，得關于x₁、x₂的方程，整理此方程，分子分母同除以x₂，整理方程，右邊為0，設t=

x1

x2

，左邊得關于t的函數(shù)，求此函數(shù)的導數(shù)，得函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)值恒小于0，所以方程不成立，所以假設不成立，所以g′（x₀）≠0．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f(2)=aln2-4b，
所以

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h′(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

，e]內(nèi)，當x∈[

1

e

，1)時，h'（x）＞0，所以h（x）是增函數(shù)；
當x∈（1，e]時，h'（x）＜0，所以h（x）是減函數(shù)
則方程h（x）=0在[

1

e

，e]內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e)≤0

即1＜m≤

1

e2

+2．
（3）g(x)=2lnx-x2-nx，g′(x)=

2

x

-2x-n．
假設結論成立，則有

2lnx1- x 2 1 -nx1=0，(1) 2lnx2- x 2 2 -nx2=0，(2) x1+x2=2x0，(3) 2 x0 -2x0-n=0，(4)

，
（1）-（2），得2ln

x1

x2

-(

x

2 1

-

x

2 2

)-n(x1-x2)=0．
所以n=2

ln x1 x2

x1-x2

-2x0．
由（4）得n=

2

x0

-2x0，所以

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，
即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

，(5)，
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

(0＜t＜1)．
則u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，所以u（t）在0＜t＜1上是增函數(shù)，
u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，與假設矛盾，
所以g'（x₀）≠0．

點評：此題考查函數(shù)與方程的綜合運用，求未知數(shù)的值，幾個未知數(shù)需幾個方程構成方程組求解；注意把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，可使問題直觀易懂；也可把函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組得各量之間的關系，把未知量轉(zhuǎn)化為一種形式，令一邊為0，另一邊再轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解題；用反證法證明問題時，先假設結論不正確，得出與假設相反的結論，從而結論是正確的．