已知函數(shù)f(x)=cosx+sinx,g(x)=
2
cos(x+
π
4
)(x∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)F(x)=f(x)•g(x)+f2(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)=2g(x),求
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
的值.
考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析:(Ⅰ)利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)F(x)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間.
(Ⅱ)利用同角三角函數(shù)關(guān)系對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn),整理出關(guān)于tanx的形式,進(jìn)而利用f(x)=2g(x)求得tanx的值代入.
解答: 解:(Ⅰ)∵g(x)=
2
cos(x+
π
4
)=cosx-sinx,
∴F(x)=f(x)•g(x)+f2(x)
=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(cosx+sinx)2,
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx,
=cos2x+sin2x+1,
=
2
sin(2x+
x
4
)+1,
∴函數(shù)F(x)的最小正周期T=
2
=π,
當(dāng)2kπ-
π
2
≤2x+
x
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)時(shí),即kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
(k∈Z)時(shí),F(xiàn)(x)單調(diào)增,
∴函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
8
x,kπ+
π
8
](k∈Z),
(Ⅱ)由題意,cosx+sinx=2(cosx-sinx),
得:tanx=
1
3
,
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
=
cos2x+2sin2x
cos2x-sinxcosx
=
1+2tan2x
1-tanx
=
11
6
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).對(duì)三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)一般是直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng),切割化弦,異名化同名,異角化同角等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2
x2
3
-y2=1的左焦點(diǎn)的連線交C1于第二象限內(nèi)的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( 。
A、
3
16
B、
3
8
C、
2
3
3
D、
4
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=5(其中i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)
.
z
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( 。
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)在z軸上求與點(diǎn)A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)在yOz平面上,求與點(diǎn)A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算下列積分
(1)∫
 
1
-1
1-x2
dx
(2)∫
 
π
2
0
(cos
x
2
-sin
x
2
2dx.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知x∈[0,5],y∈[0,5],
(1)若x,y都是正整數(shù),求:x-y>1的概率
(2)求:|x-y|<1的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一臺(tái)機(jī)器使用的時(shí)間較長(zhǎng),但還可以使用,它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn),每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少,隨機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化,下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果:
轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128
每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件)11985
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)如果y對(duì)x有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程; 
(3)若實(shí)際生產(chǎn)中,允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個(gè),那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)O(0,0),A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),D(-2cosα,-1),其中α∈(
π
2
,
2
)

(1)若
AC
BC
=-1,求
2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
的值;
(2)若f(α)=
OC
OD
-t2+2在定義域α∈(
π
2
,
2
)
有最小值-1,求t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若以A(-3,0),B(0,-3),C(2,1)為頂點(diǎn)的三角形與圓x2+y2=R2(R>0)沒(méi)有公共點(diǎn),則半徑R的取值范圍是
 

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