Question

【題目】已知函數(shù)是的導函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明：；

（3）當時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①當時， 在上為減函數(shù)；②當時， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2） 證明見解析；（3）一個零點，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）討論函數(shù)單調性，先求導，當時，，故在上為減函數(shù)；當時，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）根據(jù)，構造函數(shù)，設，，當時，，所以是增函數(shù)，，得證；（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù)，需要研究函數(shù)的增減性及極值端點，由（1）可知，當時，是先減再增的函數(shù)，其最小值為，而此時，且，故恰有兩個零點，

從而得到的增減性，當時，；當時，；當時，，從而在兩點分別取到極大值和極小值，再證明極大值，所以函數(shù)不可能有兩個零點，只能有一個零點．

試題解析：

（1）對函數(shù)求導得，

，

①當時，，故在上為減函數(shù)；

②當時，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

（2） ，設，則，

易知當時，，

；

（3）由（1）可知，當時，是先減再增的函數(shù)，

其最小值為，

而此時，且，故恰有兩個零點，

∵當時，；當時，；當時，

，

∴在兩點分別取到極大值和極小值，且，

由知，

∴，

∵，∴，但當時，，則，不合題意，所以，故函數(shù)的圖象與軸不可能有兩個交點．

∴函數(shù)只有一個零點．