Question

 （10分）要求考生從下面兩個(gè)題中任選一題，多選者按第一選項(xiàng)給分。

  （1）求證：當(dāng)x>－1時(shí)，不等式ln(x+1)<x+1≤e^x成立。

                                                          

                                                          

  （2）求函數(shù)f(x)=e^x(1－x²)的單調(diào)遞增區(qū)間。

                                                          

                                                          

Answer 1

（10分）（1）令g(x)=x+1- ln(x+1),則

g′(x) =1- =

當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，g′(x) <0，g(x)是減函數(shù)

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′(x)>0，g(x)是增函數(shù)

∴g (x)的最小值為g(0)=1

∴g (x) ≥1> 0 

∴x+1> ln(x+1)                       5分

令f(x)=e^x-x-1，則

              f′(x)=e^x-1

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′(x) <0，f(x)是減函數(shù)

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′(x)> 0，f(x)是增函數(shù)

∴f(x)的最小值為f(0)=0

∴f(x)≥0

∴e^x≥x+1

∴l(xiāng)n(x+1)<x+1≤e^x                      10分

（2）解：f′(x)=e^x(1－x²)+(－2x)e^x

                    =e^x(1－2x－x²)                      4分

               令 1－2x－x²≥0

               得－1－≤x≤－1+                  8分

           ∴ 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為[－1－，－1+]     10分