Question

已知向量

a

=（sin2x-1，cosx），

b

=（1，2cosx）．設函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及x∈[0，

π

2

]時的最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換可得，函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函數(shù)的周期．再根據(jù)當x∈[0，

π

2

]時，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最小值．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意可得，函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin2x+2cos²x=sin2x-1+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

），
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴當2x+

π

4

=

5π

4

時，f（x）取得最小值為

2

×（-

2

2

）=-1．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
故函數(shù)的增區(qū)間為 [kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，三角恒等變換，屬于基礎題．