Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+1

為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）解不等式：f（log₂x）≤

3

5

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（0）=0即可得出；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得出；
（3）令f（x）=

3

5

，解得x=2．于是f（log₂x）≤

3

5

即f（log₂x）≤f（2）．再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： （1）解：f（x）的定義域?yàn)镽．
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴a=1．
（2）證明：易得f（x）=1-

2

2x+1

．
設(shè)x₁∈R，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵2x1＜2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）令f（x）=

3

5

，解得x=2．
∴f（log₂x）≤

3

5

即f（log₂x）≤f（2）．
∵f（x）為R上的增函數(shù)，
∴l(xiāng)og₂x≤2．
∴0＜x≤4．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．