Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2 ． （Ⅰ）判斷f（x）奇偶性并證明；
（Ⅱ）用單調(diào)性定義證明函數(shù)g（x）= 在函數(shù)f（x）定義域內(nèi)單調(diào)遞增，并判斷f（x）=log2 在定義域內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ＞0，求得﹣1＜x＜1，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）， 再根據(jù)f（﹣x）= =﹣log2 =﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，∵g（x1）﹣g（x2）= ﹣ = ，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1＞0，1﹣x2＞0，∴g（x1）＜g（x2），
∴g（x）= 在（﹣1，1）內(nèi)為增函數(shù)．
令g（x）=t，則f（x）=log2t，故f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性與t的單調(diào)性相同，
由于t在定義域（﹣1，1）內(nèi)但地遞增，故f（x）在定義域（﹣1，1）內(nèi)的單調(diào)遞增
【解析】（Ⅰ）由 ＞0，求得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），關(guān)于原點(diǎn)對稱，再根據(jù)f（﹣x）=﹣f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．（Ⅱ）設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，求得 g（x1）﹣g（x2）＜0，可得g（x）在（﹣1，1）內(nèi)為增函數(shù)．令g（x）=t，則f（x）=log2t，故本題即求函數(shù)t在（﹣1，1）內(nèi)的單調(diào)性相同，由此得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．