Question

已知點(diǎn)P在以O(shè)為圓心、半徑為1的扇形區(qū)域AOB（含邊界）內(nèi)移動，∠AOB=90°，E、F分別是OA、OB的中點(diǎn)，若

OP

=x

AF

+y

BE

，其中x，y∈R，則x²+y²的最大值是（　　）

• A、4
• B、2
• C、

  20

  9

• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：OA，OB是扇形的半徑，所以想著用

OA

，

OB

表示

OP

，這個較容易做到．

OP

=(

y

2

-x)

OA

+(

x

2

-y)

OB

，根據(jù)條件知道：|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=0，所以想著求

OP

2，求出來是：

OP

2=

5

4

(x2+y2)-2xy．又因?yàn)?xy≤x²+y²，-2xy≥-（x²+y²），
所以x2+y2≤4

OP

2，而|

OP

|最大是1，這樣即可求出x²+y²的最大值．

解答： 解：

OP

=x(

OF

-

OA

)+y(

OE

-

OB

)=x(

1

2

OB

-

OA

)+y(

1

2

OA

-

OB

)=(

y

2

-x)

OA

+(

x

2

-y)

OB

；
∵∠AOB=90°，∴OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0；
∵扇形的半徑為1，∴

OA

2=

OB

2=1；
∴

OP

2=(

y

2

-x)2+(

x

2

-y)2=

5

4

(x2+y2)-2xy≥

1

4

(x2+y2)；
∴x2+y2≤4

OP

2≤4；
∴x²+y²的最大值是4．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查向量的減法運(yùn)算，共線向量基本定理，向量的數(shù)量積，向量的垂直，基本不等式，而求解本題的關(guān)鍵是將

OP

用

OA

，

OB

表示，并求

OP

2．