Question

已知函數(shù)．
（1）若在上恒成立，求m取值范圍；
（2）證明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn（）．

Answer 1

解：令在上恒成立
   4分
(1) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)
在恒成立．在其上遞減．

原式成立．
當(dāng)即0<m<1時(shí)
 
不能恒成立．
綜上： 9分
(2) 由 (1) 取m=1有l(wèi)nx
令x=n



化簡(jiǎn)證得原不等式成立．    12分

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題，以及研究函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222254445741.png" style="vertical-align:middle;" />在上恒成立，求m取值范圍；那么關(guān)鍵是求解函數(shù)的最小值恒大于等于零即可。
（2）由 (1) 取m=1有l(wèi)nx，利用放縮法得到，然后求和證明結(jié)論。
解：令在上恒成立
   4分
(1) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)
在恒成立．在其上遞減．

原式成立．
當(dāng)即0<m<1時(shí)
 
不能恒成立．
綜上： 9分
(2) 由 (1) 取m=1有l(wèi)nx
令x=n



化簡(jiǎn)證得原不等式成立．    12分