Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）如果數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，，試證明：當(dāng)n≥2時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得f′（x）≤0在定義域[0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得到，利用基本不等式即可求得；
（2）由a₁=3可得a₂=4，作差可判斷a_n+1＞a_n，根據(jù)單調(diào)性可得對n∈N^*（n≥2），都有a_n≥4．由及a_n≥4，得，兩邊取對數(shù)，借助（1）問結(jié)論，利用累加法即可證得；
解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），
．
依題意，恒成立，所以，
由，知，
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）．
（2）首先，由a₁=3，得，
而當(dāng)a_n＞0時有，∴a_n+1＞a_n，
所以，對n∈N^*（n≥2），都有a_n≥4．
再由及a_n≥4，
又得，
∴，
∴．
由（1）知當(dāng)p≥1時f（x）為減函數(shù)，取p=1，則f（x）=ln（1+x）-，
當(dāng)x＞0時f（x）＜f（0）=0，故ln（1+x）≤（x＞0），
∴，
∴，，…．，，
將這n-2個式子相加得，
∴，將a₂=4代入得，
故當(dāng)n≥2時，．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明，考查累加法求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力．