Question

19．函數(shù)f（x）對任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．
（Ⅰ）求證：f（x）是R 上的增函數(shù)；
（Ⅱ）若f（-4）=5，解不等式f（3m²-m-3）＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)實數(shù)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，利用已知可得f（x₂-x₁）＞1．再利用已知可得f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）即可；
（Ⅱ）令a=b=-2，以及a=b=-1，解得f（-2）=3，f（-1）=2，不等式f（3m²-m-3）＜2．化為f（3m²-m-3）＜f（-1），由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．可得3m²-m-3＜-1，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
又函數(shù)f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅱ）令a=b=-2，則f（-2-2）=f（-2）+f（-2）-1=5，解得f（-2）=3，
再令a=b=-1，則f（-1-1）=f（-1）+f（-1）-1=3，解得f（-1）=2．
不等式f（3m²-m-3）＜2．化為f（3m²-m-3）＜f（-1）．
由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．
∴3m²-m-3＜-1，解得-$\frac{2}{3}$＜m＜1．
∴不等式f（3m²-m-3）＜2的解集為（-$\frac{2}{3}$，1）．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、求值、解不等式等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查了靈活應(yīng)用知識解決問題的能力，屬于中檔題．