Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為，D是棱A₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)C₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證線面平行，先證線與線平行，連接A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點(diǎn)，得到D為A₁C₁的中點(diǎn)，得到DE為△A₁BC₁的中位線，得到平行．
（II）先做出二面角的平面角，根據(jù)由三垂線定理的逆定理可得EF⊥AB₁．則∠DEF為二面角的平面角，根據(jù)三角形相似，求出三角形的角度大小，就得到二面角的平面角．
（III）要求點(diǎn)到面的距離，根據(jù)同一個(gè)幾何體的體積相等，其中一個(gè)幾何體的高就是要求的點(diǎn)到面的距離，解方程得到結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ） 連接A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點(diǎn)，
∵D為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴DE為△A₁BC₁的中位線，
∴BC₁∥DE
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC ₁∥平面AB₁D
（Ⅱ）過(guò)D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性質(zhì)可知，
DF⊥平面AB₁，連接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
，
在直角三角形AA₁D中，AD=
∴AD=B₁D，DE⊥AB₁
由三垂線定理的逆定理可得EF⊥AB₁．則∠DEF為二面角的平面角，
又得DF=
∵△B₁FE∽△B₁AA₁
∴EF=
∴∠DEF=
故所求二面角的大小為
（Ⅲ）設(shè)求點(diǎn)C₁到平面AB₁D的距離h
因AD²+DB₁²=AB₁²，所以AD⊥DB₁，
故
∴•A₁A
∴h=
即點(diǎn)C₁到平面AB₁D的距離是
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關(guān)鍵是看出二面角的平面角，把平面角放到一個(gè)可解的三角形中，本題還利用等體積法求點(diǎn)到面的距離．