Question

已知圓O：x²+y²=8交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，直線l：x=-4為準線的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若M是直線l上的任意一點，以OM為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點，求證：直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標；
（Ⅲ）如圖所示，若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點，且

EG

=3

HE

，試求此時弦PQ的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

a=2 2 a2 c =4

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設M（-4，m），則圓K方程為(x+2)2+(y-

m

2

)2=

m2

4

+4，與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²，能夠證明直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標；
（Ⅲ）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則

x12+2y12=8 x22+2y22=8

，由

EG

=3

HE

，知（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），由此入手能夠求出弦PQ的長．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則：

a=2 2 a2 c =4

，從而：

a=2 2 c=2

，故b=2，所以橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）設M（-4，m），則圓K方程為(x+2)2+(y-

m

2

)2=

m2

4

+4與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²得PQ的方程為4x-my+8=0，過定點E（-2，0）．（7分）
（Ⅲ）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則

x12+2y12=8 x22+2y22=8

，①
∵

EG

=3

HE

，∴（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），即：

x1=-8-3x2 y1=-3y2

，
代入①解得：

x2=- 8 3 y2=± 2 3

（舍去正值），∴k_PQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
從而圓心O（0，0）到直線PQ的距離d=

2

，
∴PQ=2

R2-d2

=2

6

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．