已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1-a,若x∈[-1,2]時,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類求函數(shù)在區(qū)間[-1,2]的最小值,根據(jù)不等式f(x)≥0恒成立,求出實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:函數(shù)f(x)=x2+ax+1-a的圖象開口向上,對稱軸方程為x=-
a
2
,
當(dāng)-
a
2
<-1即a>2時,f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增,∴f(-1)=2-2a≥0⇒a≤1,∴a∈∅;
當(dāng)-1≤-
a
2
≤2即-4≤a≤2時,f(x)在[-1,-
a
2
]上單調(diào)遞減,在[-
a
2
,2]上單調(diào)遞增,
∴有f(-
a
2
)=-
1
4
a2-a+1≥0⇒-2
2
-2≤a≤2
2
-2
,
∴此時-4≤a≤2
2
-2;
當(dāng)-
a
2
>2即a<-4時,f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞減,
∴有f(2)=5+a≥0⇒-5≤a<-4;
綜上得實數(shù)a的取值范圍是-5≤a≤2
2
-2.
點評:本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),要注意分別討論對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系從而確定函數(shù)的最小值,體現(xiàn)了分類討論思想.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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