(2012年高考(四川理))已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求對所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)時,比較與的大小,并說明理由.
【解析】(1)由已知得,交點(diǎn)A的坐標(biāo)為,對則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為
(2)由(1)知f(n)=,則
即知,對于所有的n成立,特別地,取n=2時,得到a≥
當(dāng),
>2n3+1
當(dāng)n=0,1,2時,顯然
故當(dāng)a=時,對所有自然數(shù)都成立
所以滿足條件的a的最小值是.
(3)由(1)知,則,
下面證明:
首先證明:當(dāng)0<x<1時,
設(shè)函數(shù)
當(dāng)
故g(x)在區(qū)間(0,1)上的最小值g(x)min=g
所以,當(dāng)0<x<1時,g(x)≥0,即得
由0<a<1知0<ak<1(),因此,從而
【點(diǎn)評】本小題屬于高檔題,難度較大,需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識;考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力;且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2012年高考(江西理))如圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動點(diǎn),過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x(0<x<1),截面下面部分的體積為V(x),則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2012年高考山東卷理科10)已知橢圓C:的離心率為,雙曲線x²-y²=1的漸近線與橢圓有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為
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