Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1對任意n∈N^*恒成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在平面直角坐標系中，設(shè)=（4，S₂），=（4k，-S₃），若，求實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等式a_n+a_n+2=2a_n+1對任意n∈N^*恒成立，確定數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由a₂=2，S₄=4，建立方程組，從而可求數(shù)列的通項；
（2）由（1）知，利用建立等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵等式a_n+a_n+2=2a_n+1對任意n∈N^*恒成立
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d
∵a₂=2，S₄=4
∴
∴
∴a_n=4+（n-1）×（-2）=-2n+6；
（2）由（1）知
∴S₂=6，S₃=6
∴
∵
∴4×6+6×4k=0
∴k=-1．
點評：本題考查等差數(shù)列的判定，考查等差數(shù)列的通項與求和，考查向量知識的運用，求得數(shù)列的通項是關(guān)鍵．