精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=
1
3
BC=1
,E為SD的中點(diǎn).
(1)若F為底面BC邊上的一點(diǎn),且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.
分析:(1)取SA的中點(diǎn)H,連接EH,BH,根據(jù)HE∥AD,BF∥AD,且HE=
1
2
AD,BF=
1
2
AD
可得四邊形EFBH為平行四邊形,則EF∥BH,BH?平面SAB,EF?平面SAB,根據(jù)線面平行的判定定理可知EF∥平面SAB.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)G,滿足題設(shè)條件,過A作AI⊥DG于I,由三垂線定理得SI⊥DG,并設(shè)二面角S-DG-A的大小為α,根據(jù)題意可知tanα=
SA
AI
=
2
,即AI=
2
2
,又AD=1,故∠ADG=45°或∠ADG=135°,討論兩種情形,可得結(jié)論.
解答:解:(1)取SA的中點(diǎn)H,連接EH,BH.
由HE∥AD,BF∥AD,且HE=
1
2
AD,BF=
1
2
AD

∴EF∥BH,BF=HE,
∴四邊形EFBH為平行四邊形.
∴EF∥BH,BH?平面SAB,EF?平面SAB,
∴EF∥平面SAB.(6分)

(2)假設(shè)存在點(diǎn)G,滿足題設(shè)條件,過A作AI⊥DG于I,
由三垂線定理得SI⊥DG,并設(shè)二面角S-DG-A的大小為α.
則tanα=
SA
AI
=
2
,
∴AI=
2
2
,
又AD=1,故∠ADG=45°或∠ADG=135°,
若∠ADG=45°,則G與B點(diǎn)重合;
若∠ADG=135°,則BG=AD+AB=2,
故存在點(diǎn)G與B重合或BG=
2
3
BC
滿足題設(shè).
點(diǎn)評:判斷或證明線面平行的常用方法有:①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn));②利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);③利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS的中點(diǎn),CE=
2
,AS=
3
,求:
(Ⅰ)點(diǎn)A到平面BCS的距離;
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)
(1)求證:EF∥平面SAD
(2)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為AB,SC的中點(diǎn).
(1)證明EF∥平面SAD;
(2)設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大。

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