Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=25，直線(xiàn)l：mx-y+1-4m=0，
（1）求證：對(duì)m∈R，直線(xiàn)l與⊙C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B；
（2）求弦長(zhǎng)AB的取值范圍；
（3）求弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有幾條。

Answer 1

解：（1）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0，
令，
∴，
∴直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)M（4，1），
又，
∴M（4，1）在⊙C內(nèi)，
∴直線(xiàn)l與⊙C交于兩點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)圓心C時(shí)，AB取最大值10，此時(shí)m=0；
當(dāng)直線(xiàn)l⊥MC時(shí)，AB取最小值，MC=4，
∴，而此時(shí)m不存在；
綜上有：6＜AB≤10；
（3）由（2）知：6＜AB≤10，
故弦長(zhǎng)為整數(shù)的值有各2有條，
而AB=10時(shí)有1條，
故弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有7條。