已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x、y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)．

(1)求f(1)、f(－1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)∵f(x)對(duì)任意x、y都有f(x·y)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，

　　∴令x＝y(tǒng)＝1時(shí)，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)．

　　∴f(1)＝0．

　　∴令x＝y(tǒng)＝－1時(shí)，有f[(－1)·(－1)]＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)．

　　∴f(－1)＝0．

　　(2)∵f(x)對(duì)任意x，y都有f(x·y)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，

　　∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．

　　將f(－1)＝0代入，得f(－x)＝－f(x)，

　　∴函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)．


提示：

(1)利用賦值法，令x＝y(tǒng)＝1得f(1)的值，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定義法證明f(x)是奇函數(shù)，要借助于賦值法得f(－x)＝－f(x)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列結(jié)論中正確的是
①②③
①②③
．
①函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
②已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，則P（15＜ξ＜16）=0.15；
③
已知f(x)是定義在(-∞，+∞)上的偶函數(shù)，且在(-∞，0]上是增函數(shù)．設(shè)a=f(ln
1
3
)，b=f(log43)，
c=f(0.4-1.2)，則c＜a＜b；

④線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)程度越弱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù),它的反函數(shù)為f-1(x),若y=f-1(x+1)與y=f(x+1)互為反函數(shù),且f(1)=1,則f(2)的值為

A.2                  B.1                   C.0                   D.-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a,b∈R,滿足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列結(jié)論：

①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數(shù)；③數(shù)列{a}為等比數(shù)列；④{b}為等差數(shù)列.

其中正確的是               .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2015屆廣東省高一第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知f(x)是定義在( 0，＋∞)上的增函數(shù)，

且f() = f(x)－f(y)  

（1）求f(1)的值;

（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年黑龍江省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

已知f (x)是定義在∪上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f (x)的圖象如圖所示，那么f (x)的值域是                   

 

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