Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=BE=2，AB=2．
（Ⅰ）求證：AE⊥CE；
（Ⅱ）設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面ADE．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，證出AE⊥BE．由AD⊥平面ABE得到AD⊥AE，結(jié)合AD∥BC證出BC⊥AE，從而得出AE⊥平面BCE，結(jié)合CE?平面BCE可得AE⊥CE．
（II）設(shè)BE的中點(diǎn)為F，CE的中點(diǎn)為N，連接MN、MF、NF．利用三角形的中位線定理，證出MF∥AE且NF∥AD，再用線面平行判定定理，證出MF∥平面ADE且NF∥平面ADE，再根據(jù)面面平行判定定理證出平面MNF∥平面ADE，進(jìn)而得到MN∥平面ADE．由此可得當(dāng)N為CE中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ADE．
解答：解：（Ⅰ）∵AE=BE=2，AB=2，
∴AE²+BE²=8=AB²，可得AE⊥BE．----------------------（2分）
∵AD⊥平面ABE，AE?平面ABE，
∴AD⊥AE，結(jié)合AD∥BC可得BC⊥AE，---------------------（4分）
又∵BC、BE是平面BCE內(nèi)的相交直線，
∴AE⊥平面BCE，結(jié)合CE?平面BCE，可得AE⊥CE．----------------------（6分）
（Ⅱ）設(shè)BE的中點(diǎn)為F，CE的中點(diǎn)為N，連接MN、MF、NF，----（7分）
∵△ABE中，M、F分別是AB、BE的中點(diǎn)，
∴MF∥AE，同理可得NF∥BC∥AD．
∵M(jìn)F?平面ADE，AE?平面ADE，
∴MF∥平面ADE．-----------------------------（9分）
同理可證NF∥平面ADE，
又∵M(jìn)F、NF是平面MNF內(nèi)的相交直線，∴平面MNF∥平面ADE，
∵M(jìn)N?平面MNF，∴MN∥平面ADE．----------------------------（12分）
由此可得：當(dāng)N為CE中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ADE．------（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐E-ABCD內(nèi)證明線線垂直，并探索線面平行的問(wèn)題．著重考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．