Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點.

（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的方程；

（2）設垂直于的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程；

（3）設點滿足：存在圓上的兩點，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）設出圓的標準方程，由兩圓外切，列出方程.再由圓與軸相切，得，聯(lián)立解出，進而寫出圓的方程；
（2）先求出的斜率以及，則可設直線，利用直線與圓的相交的弦長公式列方程，解出的值，從而寫出的方程；
（3）利用向量的運算，將化為.因為圓上的兩點，則，即.利用兩點間的距離公式，列出不等式，即可解得的取值范圍.

解：（1）因為圓的圓心在直線上，

所以設圓

又圓的標準方程為，

圓與外切，則圓心距①，

又因為圓與軸相切，則②，

聯(lián)立①②解得，，

則所求圓的方程為；

（2），，

又直線，則可設直線，

圓心到直線的距離，

弦長，且，

，即，

解得，

或；

（3）由可得，

為圓上的兩點，，即，

又，

，即，

，

即的取值范圍為.