Question

如圖，在三棱錐A-BOC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=OC=2，E，F(xiàn)分別是棱AB，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥平面BOF；
（2）過EF作平面與棱OA，OB，OC或其延長線分別交于點(diǎn)A₁，B₁，C₁，已知OA₁=

3

2

，求直線OC₁與平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件得OB⊥平面AOC，從而AC⊥OB，又AC⊥OF，由此能證明AC⊥平面BOF．
（2）過點(diǎn)O作OP⊥A₁B₁于點(diǎn)P，連接PC₁，由已知得OC⊥A₁B₁，A₁B₁⊥平面POC₁，過點(diǎn)O作OH⊥PC₁于H，由已知得∠PC₁O就是直線OC₁與平面A₁B₁C₁所成的角．過點(diǎn)F作FD⊥OC₁于D，由此能求出直線OC₁與平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

解答： （1）證明：因為OB⊥OA，OB⊥OC，OA∩OC=O，
所以O(shè)B⊥平面AOC．
因為AC?平面AOC，所以AC⊥OB
因為OA=OC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OF，
又OB∩OF=O，所以AC⊥平面BOF．（5分）
（2）解：過點(diǎn)O作OP⊥A₁B₁于點(diǎn)P，連接PC₁．
已知OC⊥平面AOB，又OP?平面AOB，A₁B₁?平面AOB，
所以O(shè)C⊥OP，OC⊥A₁B₁．
因為OP⊥A₁B₁，OP∩OC=O，
所以A₁B₁⊥平面POC，即A₁B₁⊥平面POC₁，
過點(diǎn)O作OH⊥PC₁于H，因為OH?平面POC₁，
所以A₁B₁⊥OH，又A₁B₁∩PC₁=P，所以O(shè)H⊥平面A₁B₁C₁，
所以∠PC₁O就是直線OC₁與平面A₁B₁C₁所成的角．
因為OA=OB=OC=2，OA1=

3

2

，
過點(diǎn)F作FD⊥OC₁于D，
設(shè)CC₁=t，由

FD

OA1

=

DC1

OC1

得

1

3 2

=

1+t

2+t

，
所以t=1，即OC₁=3，同理OB₁=3（11分）
在Rt△A₁OB₁中，OP=

OA1•OB1

A1B1

=

3 2 ×3

9 4 +9

=

3

5

，
在Rt△POC₁中，PC1=

O C 2 1 +OP2

=

9+ 9 5

=

3 6

5

，
所以sin∠PC1O=

OP

PC1

=

3 5

3 6 5

=

6

6

，
即直線OC₁與平面A₁B₁C₁所成角的正弦值為

6

6

．（15分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．