Question

設(shè)拋物線C1 ：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）當(dāng)m=1時，直線l經(jīng)過橢圓C₂的右焦點F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果弦長|A₁A₂|等于三角形PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．
（2）求最小實數(shù)m，使得三角形PF₁F₂的邊長是自然數(shù)．

Answer 1

分析：（1）m=1時，F(xiàn)₂（1，0），由此能求出橢圓方程3x²+4y²=12．設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦長公式能求出直線的斜率．
（2）設(shè)橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設(shè)有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，設(shè)P（x₀，y₀），對于拋物線C₁，r₂=x₀+m．由此能推導(dǎo)出使得三角形PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)的最小實數(shù)．

解答：解：（1）∵拋物線C1 ：y2=4mx（m＞0），
∴m=1時，F(xiàn)₂（1，0），
∵c=1 e=

1

2

  ∴ a=2 ， b2=a2-c2=3，
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，即3x²+4y²=12．
依題意知直線l存在斜率，設(shè)l：y=k（x-1）
聯(lián)立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．…3分
∵直線l與拋物線C₁有兩個交點，∴k≠0，
設(shè)A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中點M（x，y），
由韋達定理得x1+x2=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

 ，x1x2=1…..5分
則 |A1A2|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )2-4]

=

(1+k2)( 16 k2 + 16 k4 )

=4

(1+k2) (1+k2) k4

=4•

1+k2

k2

…8分
三角形PF₁F₂的周長=2a+2c=6，
由 

4(1+k2)

k2

=6，解得 k=±

2

．
故直線l的斜率為±

2

．…9分
（2）設(shè)橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設(shè)有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
設(shè)P（x₀，y₀），對于拋物線C₁，r₂=x₀+m；
對于橢圓C₂，

r2

a2 c -x0

=e=

1

2

，
即r2=

1

2

(4m-x0)…..12分
由x0+m=

1

2

(4m-x0)，解得 x0=

2

3

m，
∴r2=

5

3

m，從而 r1=

7

3

m．
因此，三角形PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m ， 

6

3

m ， 

7

3

m．…13分
使得三角形PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)的最小實數(shù)m=3．…14分

點評：本題考查直線斜率的求法，考查使得三角形周長是連續(xù)的自然數(shù)的最小實數(shù)的求法．解題時要認真審題，注意橢圓、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用．