Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿(mǎn)足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于120°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角等于15°，|$\overrightarrow{c}$|=3，則|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把向量放在三角形中，根據(jù)向量的夾角與三角形的角的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題求解．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿(mǎn)足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，
∴令$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CB}$，
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于120°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角等于15°
∴∠A=180°-120°=60°，∠C=180°-150°=30°，
∴三角形為直角三角形，
$\frac{|AB|}{|BC|}$=tan30°=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵|BC|=|$\overrightarrow{c}$|=3，
∴|AB|=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用、向量的模，數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，解直角三角形，學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖確定解決問(wèn)題的方法，屬于中檔題．