Question

已知雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的離心率e=，直線l過A（a，0），B（0，-b）兩點，原點O到直線l的距離是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若•=-23，求直線m的方程．

Answer 1

解：（1）依題意，l方程+=1，即bx-ay-ab=0，由原點O到l的距離為，得
==，又e==，
∴b=1，a=．
故所求雙曲線方程為-y²=1．
（2）顯然直線m不與x軸垂直，設m方程為y=kx-1，
則點M、N坐標（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組的解，
消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．①
依題意，1-3k²≠0，由根與系數(shù)關系，
知x₁+x₂=，x₁x₂=
•=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
=-+1=+1．
又∵•=-23，
∴+1=-23，k=±，
當k=±時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根，
∴方程為y=x-1或y=-x-1．
分析：（1）先求出直線l的方程，再點到直線的距離公式建立關于a，b，c的方程，解這個方程求出a，b，從而得到雙曲線的方程．
（2）設m方程為y=kx-1，則點M、N坐標（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組的解，消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．由根與系數(shù)關系和題設條件推導出k的值，從而求出直線m的方程．
點評：本題是雙典線的綜合題，重點考查雙曲線的性質及其應用，具有一定的難度．解題時要注意根與系數(shù)的關系的靈活運用．