Question

已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．

(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2(f′(x)是f(x)的導數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

(3)求證：×…×<(n≥2，n∈N*)．

 

Answer 1

（1）f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)

（2）－<m<－9 （3）見解析

【解析】(1)解　當a＝－1時，f′(x)＝(x>0)，

解f′(x)>0得x∈(1，＋∞)；解f′(x)<0得x∈(0,1)．

f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)．

(2)解∵f′(x)＝(x>0)，

∴f′(2)＝－＝1得a＝－2，f(x)＝－2ln x＋2x－3，

g(x)＝x3＋x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2．

∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)＝－2，

∴．

由題意知：對于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，

∴，∴－<m<－9．

(3)證明　由(1)可知

當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1)，即－ln x＋x－1>0，

∴0<ln x<x－1對一切x∈(1，＋∞)成立．

∵n≥2，n∈N*，則有0<ln n<n－1，∴0<<．

∴···…·<···…·＝(n≥2，n∈N*)．