Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，有下列命題：
①滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)；
②λ+μ的最小值不存在；
③滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)；
④λ+μ的最大值為3．
其中正確的命題序號(hào)是：

 

．（寫出所有正確命題序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，取AB=1．由于

AE

=

AD

+

DE

=

AD

-

AB

，

AP

=λ

AB

+μ

AE

，可得

AP

=(λ-μ)

AB

+μ

AD

=（λ-μ）（1，0）+μ（0，1）=（λ-μ，μ）．由動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，分類討論即可得出．

解答： 解：如圖所示，取AB=1．
∵

AE

=

AD

+

DE

=

AD

-

AB

，

AP

=λ

AB

+μ

AE

，
∴

AP

=(λ-μ)

AB

+μ

AD

=（λ-μ）（1，0）+μ（0，1）=（λ-μ，μ）．
由動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，
當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，
∴1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，
∴2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3．
①取λ=μ=1滿足λ+μ=2，此時(shí)

AP

=

AB

+

AE

=

AD

，因此點(diǎn)P不一定是BC的中點(diǎn)，不正確；
②當(dāng)P取點(diǎn)A時(shí)，λ+μ取得最小值0，因此不正確；
③當(dāng)點(diǎn)P取B或AD的中點(diǎn)時(shí)：滿足λ+μ=1的點(diǎn)P不唯一，因此不正確；
④當(dāng)點(diǎn)P取C點(diǎn)時(shí)，

λ-μ=1 μ=1

，解得λ=2，μ=1，λ+μ取得最大值為3．
綜上可知：只有④正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的三角形法則、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．