Question

已知函數(shù)f（x）=1+2ma^x-a^2x（a＞0且a≠1，m∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）當(dāng)m=-1且x∈[-2，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-7，求a的值和函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）可采用換元法，令a^x=t（t＞0），轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，對(duì)m討論：分m≥0，m＜0，分別求出函數(shù)的值域；
（2）首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)a討論，分a＞1，0＜a＜1，分別判斷函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的單調(diào)性，從而求出最小值和最大值，同時(shí)求出a的值．

解答： 解：（1）令a^x=t（t＞0），則f（x）=1+2mt-t²，
即函數(shù)y=1+2mt-t²=-（t-m）²+1+m²，
對(duì)m討論：當(dāng)m≥0時(shí)，t=m取最大值1+m²，此時(shí)無最小值，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1+m²]；
當(dāng)m＜0時(shí)，（0，+∞）為減區(qū)間，函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，1）．
故m≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1+m²]；m＜0時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，1）．
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=1-2a^x-a^2x，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=-2a^xlna-2a^2xlna=-2a^xlna（1+a^x），
對(duì)a討論：當(dāng)a＞1時(shí)，a^x＞0，lna＞0，f'（x）＜0，即函數(shù)f（x）在[-2，1]上是減函數(shù)，
所以f（1）最小，即1-2a-a²=-7⇒a=2（-4舍去），
此時(shí)函數(shù)的最大值為f（-2），且為1-

1

2

-

1

16

=

7

16

；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a^x＞0，lna＜0，f'（x）＞0，即函數(shù)f（x）在[-2，1]上是增函數(shù)，
所以f（-2）最小，即1-2a^-2-a^-4=-7⇒a-2=2（-4舍去）⇒a=

2

2

，
此時(shí)函數(shù)的最大值為f（1），且為1-

2

2

-

1

2

=

1- 2

2

．
故a＞1時(shí)，a=2，函數(shù)的最大值為

7

16

；0＜a＜1時(shí)，a=

2

2

，函數(shù)的最大值為

1- 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查主要二次函數(shù)的最值和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的方法，同時(shí)運(yùn)用了換元的思想，需注意新元的范圍，以及分類討論的思想方法，本題屬于中檔題．