△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知A-C=
π
2
,a+c=
2
b,求C.
分析:由A-C等于
π
2
得到A為鈍角,根據(jù)誘導(dǎo)公式可知sinA與cosC相等,然后利用正弦定理把a(bǔ)+c=
2
b化簡后,把sinA換為cosC,利用特殊角的三角函數(shù)值和兩角和的正弦函數(shù)公式把左邊變?yōu)橐粋(gè)角的正弦函數(shù),給方程的兩邊都除以
2
后,根據(jù)C和B的范圍,得到C+
π
4
=B或C+
π
4
+B=π,根據(jù)A為鈍角,所以C+
π
4
+B=π不成立舍去,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和為π,列出關(guān)于C的方程,求出方程的解即可得到C的度數(shù).
解答:解:由A-C=
π
2
,得到A為鈍角且sinA=cosC,
利用正弦定理,a+c=
2
b可變?yōu)椋簊inA+sinC=
2
sinB,
即有sinA+sinC=cosC+sinC=
2
sin(C+
π
4
)=
2
sinB,
又A,B,C是△ABC的內(nèi)角,
故C+
π
4
=B或C+
π
4
+B=π(舍去),
所以A+B+C=(C+
π
2
)+(C+
π
4
)+C=π,
解得C=
π
12
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值以及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值,是一道中檔題.學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意三角形的內(nèi)角和定理及角度范圍的運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=
14

(Ⅰ)求△ABC的周長;
(Ⅱ)求cos(A-C)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•唐山二模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積S=
3
4
(c2-a2-b2)

(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若a+b=2,且c=
3
,求A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•寶坻區(qū)一模)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cos(x+
π
6
),x∈R
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A)=
3
2
,且a=
3
2
b
,求角C的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,三邊長a、b、c成等比數(shù)列,且a2=c2+ac-bc,則
asinB
b
的值為
3
2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C的大小是
π-arccos
1
3
π-arccos
1
3

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