Question

已知向量

m

=（sinx，cosx），

n

=(

3

2

，

3

2

)，x∈R，函數f（x）=

m•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，設角A，B的對邊分別為a，b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大�。�

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算,余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出f（x）解析式，根據正弦函數的值域即可確定出f（x）的最大值；
（Ⅱ）根據第一問確定的f（x）解析式及正弦定理化簡已知等式，由sinA不為0求出tanA的值，確定出A的度數，進而求出B的度數，即可確定出C的度數．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

sin（x+

π

6

），
∵-1≤sin（x+

π

6

）≤1，即-

3

≤

3

sin（x+

π

6

）≤

3

，
∴f（x）的最大值為

3

；
（Ⅱ）∵b=2af（A-

π

6

），
∴由（1）及正弦定理，化簡得：sinB=2

3

sin²A，
又B=2A，∴sin2A=2

3

sin²A，
即2sinAcosA=

3

sin²A，
∵A是三角形的內角，∴sinA≠0，
∴cosA=

3

sinA，即tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，B=2A=

π

3

，
則C=π-（A+B）=

π

2

．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，正弦函數的值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．