Question

在正方體中，E、F分別是BB₁的中點(diǎn)．

（１）證明；

（２）求與所成的角；

（３）證明：面面

Answer 1

方法1（坐標(biāo)法解答前兩問）

（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2a，則由條件可得

D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D₁(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A₁(2a,0,2a)

,  =(0, a, -2a),

     ∴

     ∴，即。

（2）解：，=(0, a, -2a),

∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0 

∴cos<,>==0, 

即,的夾角為90°，所以直線AE與D₁F所成的角為直角。

（3）證明：由（1）、（2）知D₁F⊥AD，D₁F⊥AE, 而AD∩AE=A，

           ∴D₁F⊥平面AED，

           ∵D₁F平面A₁FD₁，

           ∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

方法2（綜合法）

（1）證明：因?yàn)锳C₁是正方體，所以AD⊥面DC₁。

           又DF₁DC₁，所以AD⊥D₁F.

（2）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G，F(xiàn)G， 

     因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF∥AD，

又A₁D₁∥AD，所以GF∥A₁D₁，

故四邊形GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F。

設(shè)A₁G與AE相交于H，則∠A₁HA是AE與D₁F所成的角。

因?yàn)镋是BB₁的中點(diǎn)，所以Rt△A₁AG≌△ABE, ∠GA₁A=∠GAH,從而∠A₁HA=90°,

即直線AE與D₁F所成的角為直角。

（3）與上面解法相同。