Question

設定義在R的函數f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，當x=-1時，f（x）取得極大值

2

3

，且函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷函數y=f（x）的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區(qū)間[-

2

，

2

]上，并說明理由；
（Ⅲ）設x_n=1-2^-n，y_m=

2

(3-m-1)（m，n∈N⁺），求證：|f（x_n）-f（y_m）|＜

4

3

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位得到函數y=f（x）的圖象，得出函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即y=f（x）為奇函數，所以f（x）=a₁x³+a₃x．利用當x=-1時，f（x）取得極大值

2

3

，列出方程組，求解a₁，a₃．
（II）假設存在兩切點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），且x₁，x₂∈[-

2

，

2

]，通過f′（x₁）f′（x₂）=（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）=-1探討方程解得情況，作出判斷．
（Ⅲ）x_n∈[

1

2

，1)，y_m∈(-

2

，-

2 2

3

]，考查f（x）的單調性，分別求出f（x_n），f（y_m）的最值解決．

解答：解：（I）將函數y=f（x+1）的圖象向右平移一個單位得到函數y=f（x）的圖象，∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即y=f（x）為奇函數、∴f（x）=a₁x³+a₃x
由題意可得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

，解得

a1= 1 3 a3=-1

∴f（x）=

1

3

x³-x
（II）存在滿足題意的兩點．                         
由（I）得f′（x）=x²-1
假設存在兩切點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），且x₁，x₂∈[-

2

，

2

]，
則f′（x₁）f′（x₂）=（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）=-1
∵，

x

2 1

-1，

x

2 2

-1∈[-1，1]，∴

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1

即

x1=0 x2=± 2

或

x2=0 x1=± 2

從而可求得兩點的坐標分別為（0，0），（

2

，-

3

3

）或（0，0），（-

2

，

3

3

）
…（9分）
（III）∵當x∈[

1

2

，1)時，f′（x）＜0，∴f（x）在[

1

2

，1)上遞減
由已知得x_n∈[

1

2

，1)，∴f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]
…（11分）
又x＜1時，f′（x）＞0-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上遞增，f（x）在（-1，1）上遞減．
∵y_m=

2

(3-m-1)，∴y_m∈(-

2

，-

2 2

3

]
∵-

2

＜-1＜-

2 2

3

，且f（

2

）=

2

-

2 2

3

=

2

3

＜f（-

2 2

3

）=

2 2

3

-

38 2

81

∴f（y_m）∈(f(-

2

)，f(-1)]=(

2

3

，

2

3

]、…（13分）
∴|f（x_n）-f（y_m）|=f（y_m）-f（x_n）＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

…（14分）

點評：本題考查導數的幾何意義，函數最值求解及應用．用到了函數單調性與導數關系，綜合性強．屬于難題．