已知f（x）=ax2-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區(qū)間(
1
2
，1)上不單調(diào)，則
3b-2
3a+2
的取值范圍是（　�。�
分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)，由原函數(shù)區(qū)間(
1
2
，1)上不單調(diào)，得到關(guān)于a，b的不等式組，作出可行域，然后利用
3b-2
3a+2
的幾何意義求其范圍．
解答：解：由f（x）=ax2-blnx+2x，得f′(x)=2ax-
b
x
+2=
2ax2+2x-b
x
．
令g（x）=2ax2+2x-b，
因為f（x）=ax2-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區(qū)間(
1
2
，1)上不單調(diào)，
所以在區(qū)間(
1
2
，1)上，存在x使得f′（x）=0，且x不是方程2ax2+2x-b=0的二重根．
即函數(shù)g（x）=2ax2+2x-b在區(qū)間(
1
2
，1)上有零點，且零點兩側(cè)的函數(shù)值異號．
又其對稱軸方程為x=-
1
2a
＜0，則
g(
1
2
)=
a
2
-b+1＜0
g(1)=2a-b+2＞0
．
其可行域如圖，

而
3b-2
3a+2
=
b-
2
3
a+
2
3
，幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點A(-
2
3
，
2
3
)連線的斜率的范圍，
由圖可知范圍為(
1
2
，2)．
故選B．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是由題意列出關(guān)于a，b的不等式組，是中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

例2：已知f（x）=ax2+bx+c的圖象過點（-1，0），是否存在常數(shù)a、b、c，使不等式x≤f（x）≤
x2+12
對一切實數(shù)x都成立？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax2+bx，若1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，則f（2）的取值范圍是
[2，10]
[2，10]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）無零點，則g（x）＞0對?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一個零點，則g（x）必有兩個零點；
③若方程f（x）=0有兩個不等實根，則方程g（x）=0不可能無解
其中真命題的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax2-3ax+a2-1（a＜0），則f（3），f（-3），f（
3
2
）從小到大的順序是
f（-3）＜f（3）＜f（
3
2
）
f（-3）＜f（3）＜f（
3
2
）
．

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