Question

7．設(shè)點(diǎn)P_i（x_i，y_i）在直線l_i：a_ix+b_iy=c_i上，若a_i+b_i=ic_i（i=1，2），且|P₁P₂|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$恒成立，則$\frac{c_1}{a_1}$+$\frac{a_2}{c_2}$=3．

Answer 1

分析 點(diǎn)P_i（x_i，y_i）在直線l_i：a_ix+b_iy=c_i上，a_i+b_i=ic_i（i=1，2），可得l₁過定點(diǎn)M（1，1），l₂過定點(diǎn)N$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，又|P₁P₂|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$恒成立，l₁∥l₂，而|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得MN⊥l_i（i=1，2）．即可得出．

解答 解：∵點(diǎn)P_i（x_i，y_i）在直線l_i：a_ix+b_iy=c_i上，a_i+b_i=ic_i（i=1，2），
∴l(xiāng)₁過定點(diǎn)M（1，1），l₂過定點(diǎn)N$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
又|P₁P₂|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$恒成立，∴l(xiāng)₁∥l₂，
∵|MN|=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN⊥l_i（i=1，2）．
又k_MN=1．
∴直線l₁，l₂的方程分別為：x+y=2，x+y=1．
∴$\frac{c_1}{a_1}$+$\frac{a_2}{c_2}$=2+1=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線經(jīng)過定點(diǎn)問題、直線平行、兩點(diǎn)之間的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．