Question

已知a＞0，設函數(shù)f（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx（x∈[-a，a]的最大值為M，最小值為N，那么M+N=（　�。�

A．0

B．2008

C．4016

D．4017

Answer 1

分析：設g（x）=

2009 x+1+2007

2009x+1

，則g（x）=2009-

2

2009x+1

，因為2009^x是R上的增函數(shù)，所以g（x）是R上的增函數(shù)．函數(shù)g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．函數(shù)sinx是奇函數(shù)，它在[-a，a]上的最大值與最小值互為相反數(shù)，最大值與最小值的和為0．所以函數(shù)f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（a）+g（-a），由此能求出M+N的值．

解答：解：∵f（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx，
設g（x）=

2009 x+1+2007

2009x+1

，
則g（x）=

2009x+1+2009-2

2009x+1

=2009-

2

2009x+1

，
因為2009^x是R上的增函數(shù)，所以g（x）是R上的增函數(shù)．
函數(shù)g（x）在[-a，a]上的最小值是g（-a），最大值是g（a）．
函數(shù)sinx是奇函數(shù)，它在[-a，a]上的最大值與最小值互為相反數(shù)，
最大值與最小值的和為0．
所以函數(shù)f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=（2009-

2

2009a+1

）+（2009-

2

2009-a+1

）
=4018-（

2

2009a+1

+

2

2009-a+1

）
=4018-（

2

2009a+1

+

2×2009a

1+2009a

）
=4018-2
=4016．
故選C．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，易錯點是

2

2009a+1

+

2

2009-a+1

的化簡運算方法不當導致出錯．