Question

（本題滿(mǎn)分15分）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，圓

（Ⅰ）若拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)恰好與圓相切，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線(xiàn)，試求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）直線(xiàn)的方程為：.（Ⅱ）的取值范圍是.

【解析】本試題主要是考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)于圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及勾股定理的綜合運(yùn)用。

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線(xiàn)方程，以及直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離為圓的半徑可以得到結(jié)論。

(2)設(shè)出直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組，結(jié)合

和韋達(dá)定理得到坐標(biāo)關(guān)系，然后求解取值范圍。

解：設(shè)

由，得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：

，即                    （3分）

由已知：，又，                            （5分）

，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，                                         （6分）

直線(xiàn)的方程為：.                                   （7分）

（Ⅱ）由已知，直線(xiàn)的斜率存在，則設(shè)直線(xiàn)的方程為：，       （8分）

聯(lián)立，得 

                                            （9分）

  解法一： （12分）

                                                                 （13分）

＝               （15分）

解法二：      （12分）

                                   （13分）

                                                       （15分）

解法三：, 

         

同理，                                      （13分）

故的取值范圍是.                      （15分）