Question

正三棱臺的上、下底邊長為2和4．
（Ⅰ）若該正三棱臺的高為 1，求此三棱臺的側(cè)面積
（Ⅱ）若側(cè)面與底面所成的角是60°，求此三棱臺的體積；
參考公式：臺體的體積公式V_臺體=

1

3

h(S+

SS′

+S′)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中點D₁，DO₁，O分別為△A₁B₁C₁，△ABC的中心，過D₁作D₁M⊥DC，利用三棱臺的側(cè)面積公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）確定臺體的高，再確定上、下底的面積，即可求此三棱臺的體積．

解答：解：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中點D₁，D，O₁，O分別為△A₁B₁C₁，△ABC的中心，過D₁作D₁M⊥DC，則D₁C₁=

3

，DC=2

3

，從而D₁O₁=

3

3

，DO=

2 3

3

，
∴DM=

3

3

，
∵D₁M=1，∴D₁D=

2 3

3

∴S_側(cè)=3×

(2+4)×  2 3 3

2

=6

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在直角△D₁DM中，∠D₁DM=60°，即側(cè)面與底面所成的角，故臺體的高為1，
∵正三棱臺的上、下底邊長為2和4
∴S_△A1B1C1=

3

，S_△ABC=4

3

∴V_臺=

1

3

×1×（

3

+

3 ×4 3

+4

3

）=

7 3

3

．

點評：本題考查求此三棱臺的側(cè)面積、體積，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．