Question

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊且滿足a²+c²=b²+ac．
（1）若c=

2

，b=

3

，求角C；
（2）若

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(-6，-1)，求f（x）=

m

•

n

的值域．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，將已知的等式變形后代入求出cosB的值，再由B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進而求出sinB的值，再由c與b的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出函數(shù)f（x）的解析式，并利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于sinA的二次函數(shù)，配方為二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)B的度數(shù)，得出A的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域得出sinA的范圍，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵a²+c²=b²+ac，即a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
又三角形ABC為銳角三角形，
∴B=

π

3

，即sinB=

3

2

，又a=

2

，b=

3

，
∴由正弦定理得：

2

sinC

=

3

3 2

，即sinC=

2

2

，
∴C=

π

4

；
（2）∵

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(-6，-1)，
∴f（A）=

m

•

n

=-6sinA-cos2A=2sin²A-6sinA-1=2（sinA-

3

2

）²-

11

2

，
又B=

π

3

，三角形ABC為銳角三角形，
∴A∈（

π

6

，

π

2

），sinA∈（

1

2

，1），
則函數(shù)的值域為（-5，-

7

2

）．

點評：此題考查正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．