Question

若三角形的三個內(nèi)角的弧度數(shù)分別為α，β，γ，則

4

α

+

1

β+γ

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用三角形的內(nèi)角和定理和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：∵三角形的三個內(nèi)角的弧度數(shù)分別為α，β，γ，
∴α+β+γ=π，∴β+γ=π-α．
∴

4

α

+

1

β+γ

=

4

α

+

1

π-α

，
令f（α）=

4

α

+

1

π-α

，α∈（0，π）．
則f′(α)=-

4

α2

+

1

(π-α)2

=

(2π-α)(3α-2π)

α2(π-α)2

，
令f′（α）=0，解得α=

2π

3

．
當(dāng)0＜α＜

2π

3

時，f′（α）＜0，函數(shù)f（α）單調(diào)遞減；當(dāng)

2π

3

＜α＜π時，f′（α）＞0，函數(shù)f（α）單調(diào)遞增．
因此當(dāng)α=

2π

3

時，f（α）取得極小值即最小值，f(

2π

3

)=

4

2π 3

+

1

π- 2π 3

=

9

π

．
∴

4

α

+

1

β+γ

的最小值為

9

π

．
故答案為：

9

π

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、三角形的內(nèi)角和定理，屬于中檔題．