Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

x2

-k（

2

x

+lnx）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=

(x-2)(ex-kx)

x3

（x＞0），
當(dāng)k≤0時(shí)，kx≤0，
∴e^x-kx＞0，
令f′（x）=0，則x=2，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
故f（x）在（0，2）內(nèi)不存在極值點(diǎn)；
當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-kx，x∈[0，+∞）．
∵g′（x）=e^x-k=e^x-e^lnk，
當(dāng)0＜k≤1時(shí)，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）=e^x-k＞0，y=g（x）單調(diào)遞增，
故f（x）在（0，2）內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)k＞1時(shí)，
得x∈（0，lnk）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減，
x∈（lnk，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=g（x）的最小值為g（lnk）=k（1-lnk）
函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)
當(dāng)且僅當(dāng)

g(0)＞0 g(lnk)＜0 g(2)＞0 0＜lnk＜2

解得：e＜k＜

e2

2

綜上所述，
函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為（e，

e2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，和極值，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．是一道導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題．屬于中檔題．