Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（1）解：因為f（x）=-x³+ax²+b，
所以．…（1分）
當(dāng)a=0時，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)遞增區(qū)間；…（2分）
當(dāng)a＞0時，令f'（x）＞0，得．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；…（3分）
當(dāng)a＜0時，令f'（x）＞0，得．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．…（4分）
綜上所述，當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．…（5分）
（2）解：，由（1）知，a∈[3，4]時，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和．…（6分）
所以函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0）=b，…（7分）
函數(shù)f（x）在處取得極大值．…（8分）
由于對任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個零點，
所以即…（10分）
解得．…（11分）
因為對任意a∈[3，4]，恒成立，
所以．…（13分）
所以實數(shù)b的取值范圍是（-4，0）．…（14分）
分析：（1）因為f（x）=-x³+ax²+b，所以，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由（1）知，a∈[3，4]時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和．所以函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0）=b．由此利用對任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個零點，能求出實數(shù)b的取值范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點、不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力．