Question

(幾何證明選講)（本小題滿分10分）如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D，E，F(xiàn)，AB=AC，連接AD交⊙O于點(diǎn)H，直線HF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：圓心O在直線AD上；

（2）求證：點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn).

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，若要證圓心在直線上，只須證直線是的角平分線即可.由已知因?yàn)閳A是堿三角形的內(nèi)切圓，所以，又，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306004616252934/SYS201503030601009756440800_DA/SYS201503030601009756440800_DA.008.png">，所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306004616252934/SYS201503030601009756440800_DA/SYS201503030601009756440800_DA.004.png">是等腰三角形，所以是的角平分線，∴圓心O在直線AD上.

（2）若要證點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，只須證，由（1）可知，所以若要證，可以考慮先證，即只須證，從而可得證.連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，，，

又，且與相切于點(diǎn)，，

，，∴點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn).

試題解析：（1），又，

，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306004616252934/SYS201503030601009756440800_DA/SYS201503030601009756440800_DA.004.png">是等腰三角形，

所以是的角平分線，∴圓心O在直線AD上.

（2）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，

，又，且與相切于點(diǎn)，

，∴點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn).

考點(diǎn)：1.圓的切線性質(zhì)；2.三角形角平線.