精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)的圖象如圖所示，直線x=
3π
8
，x=
7π
8
是其兩條對稱軸．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（α）=
6
5
且
π
8
＜α＜
3π
8
，求f（α+
π
8
）的值．
分析：（1）結(jié)合函數(shù)的圖象，求出A，T，然后求出ω，根據(jù)極值點(diǎn)求出φ，確定函數(shù)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用f（α）=
6
5
且
π
8
＜α＜
3π
8
，求出sin(2α-
π
4
)=
3
5
和cos(2α-
π
4
)，化簡f（α+
π
8
），然后求出它的值．
法二：利用f（α）=
6
5
且
π
8
＜α＜
3π
8
，求出2sin2α=
7
2
5
，然后化簡f（α+
π
8
），求出f（α+
π
8
）的值．
法三：由sin(2α-
π
4
)=
3
5
得sin2α-cos2α=
3
2
5
，求出cos4α，再求出2sin2α=
7
2
5
，然后化簡f（α+
π
8
），求出f（α+
π
8
）的值．
解答：解：（1）由題意，
T
2
=
7π
8
-
3π
8
=
π
2
，∴T=π，
又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），（2分）
由f(
3π
8
)=2sin(
3π
4
+φ)=2，解得φ=2kπ-
π
4
(k∈Z)，
又-
π
2
＜φ＜
π
2
，∴φ=-
π
4
，∴f(x)=2sin(2x-
π
4
)．（5分）
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)知，kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
(k∈Z)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
](k∈Z)．（7分）
（2）解法1：依題意得：2sin(2α-
π
4
)=
6
5
，即sin(2α-
π
4
)=
3
5
，（8分）
∵
π
8
＜α＜
3π
8
，∴0＜2α-
π
4
＜
π
2
，
∴cos(2α-
π
4
)=
1-sin2(2α-
π
4
)
=
1-(
3
5
)2
=
4
5
，（10分）
f(
π
8
+α)=2sin[(2α-
π
4
)+
π
4
]
∵sin[(2α-
π
4
)+
π
4
]=sin(2α-
π
4
)cos
π
4
+cos(2α-
π
4
)sin
π
4
=
2
2
(
3
5
+
4
5
)=
7
2
10

f(
π
4
+α)=
7
2
5
．（14分）
解法2：依題意得：sin(2α-
π
4
)=
3
5
，sin2α-cos2α=
3
2
5
得，①（9分）
∵
π
8
＜α＜
3π
8
，∴0＜2α-
π
4
＜
π
2
，
∴cos(α-
π
4
)=
1-sin2(2α-
π
4
)
=
1-(
3
5
)2
=
4
5
，（11分）
由cos(2α-
π
4
)=
4
5
得sin2α+cos2α=
4
2
5
②
①+②得2sin2α=
7
2
5
，
∴f(
π
8
+α)=
7
2
5
（14分）
解法3：由sin(2α-
π
4
)=
3
5
得sin2α-cos2α=
3
2
5
，（9分）
兩邊平方得1-sin4α=
18
25
，sin4α=
7
25
，
∵
π
8
＜α＜
3π
8
∴
π
2
＜4α＜
3π
2
，
∴cos4α=-
1-sin24α
=-
24
25
，（11分）
∴sin22α=
1-cos4α
2
=
49
50
，
又
π
4
＜2α＜
3π
4
，∴sin2α=
7
2
10
，
∴f(
π
8
+α)=
7
2
5
．（14分）
點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，由三角函數(shù)的圖象確定函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的解析式，求已知函數(shù)的三角函數(shù)值，求相關(guān)角的三角函數(shù)值，考查公式的靈活運(yùn)用能力，化簡能力，常考題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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同步練習(xí)冊答案