Question

【題目】已知函數(shù),其中為正實(shí)數(shù)．

(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證： ．

Answer 1

【答案】(1)1(2) 單調(diào)減區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為．（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間（3）先根據(jù)韋達(dá)定理得，再化簡(jiǎn)，進(jìn)而化簡(jiǎn)所證不等式為，最后利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定最小值，證得結(jié)論

試題解析：(1)因?yàn)?/span>，所以，

則,所以的值為1．

(2) ，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

若,即,則,此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為;

若,即,則的兩根為,

此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為,,

單調(diào)減區(qū)間為．

(3)由(2)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且．

因?yàn)?/span>

要證,只需證．

構(gòu)造函數(shù)，則，

在上單調(diào)遞增,又,且在定義域上不間斷,

由零點(diǎn)存在定理，可知在上唯一實(shí)根, 且．

則在上遞減, 上遞增,所以的最小值為．

因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí), ,則,所以恒成立．

所以,所以，得證．