Question

14．對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：$a*b=\left\{\begin{array}{l}{a^2}-ab\;，\;\;a≤b\\{b^2}-ab\;，\;\;a＞b\end{array}\right.$，設(shè)f（x）=2x*（x+1），且關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意確定函數(shù)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，x≤1}\\{1-{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根時m的取值范圍．

解答 解：由 2x≤x+1 可得 x≤1，由 2x＞x+1 可得 x＞1．
∴根據(jù)題意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，x≤1}\\{1-{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，
根據(jù)函數(shù)的極大值為f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互相等的實(shí)數(shù)根，
可得m的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0），
故答案為（-$\frac{1}{4}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．