已知a>0,數(shù)列滿足a1=a,an+1=a+,n=1,2,….

1)已知數(shù)列極限存在且大于零,求(將Aa表示);

2)設bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=

3)若n=1,2…都成立,求a的取值范圍.

答案:
解析:

本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學歸納法,考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

(1)解:存在,且A=(A>0),對an+1=a+兩邊取極限得.

A=a+.解得A=.又A>0,∴ A=

(2)證明:由an=bn+Aan+1=a+得    bn+1+A=a+

bn+1=n=1,2,…都成立.

(3)解:令

-a£1,解得a³

現(xiàn)證明當a³時,n=1,2,…都成立.

①當n=1時結論成立(已驗證).

②假設當n=k(k³1)時結論成立,即,那么

故只須證明,即證a³成立.

由于,

而當a³時,-a£1,∴ A³2.

故當a³時,

n=k+1時結論成立.

根據①和②,可知結論對一切正整數(shù)都成立.

n=1,2…都成立的a的取值范圍為


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