Question

已知a，b是正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x，使x∈[，]且f（x）≤g（x）成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)已知求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分別求出導(dǎo)函數(shù)為正，為負(fù)時(shí)x的取值范圍，進(jìn)而可得h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)區(qū)間的定義可得＜，由f（x）≤g（x），結(jié)合（I）中函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得的取值范圍．
解答：解：（1）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）=xlnx+a-xlnb
∴h′（x）=lnx+1-lnb
由h′（x）＞0得x＞，
∴h（x）在（0，）上單調(diào)遞減，（，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（2）由＜得＜7                      …（5分）
（i）當(dāng)≤≤，即≤≤時(shí)，
h（x）_min=h（）=-+a
由-+a≤0得≥e，
∴e≤≤                …（7分）
（ii）當(dāng)＜時(shí)，a＞
∴h（x）在[，]上單調(diào)遞增．
h（x）_min=h（）=（ln-lnb）+a≥（lnlnb）+a=＞=b＞0
∴不成立                                         …（9分）
（iii）當(dāng)＞，即＞時(shí)，a＜b
h（x）在[，]上單調(diào)遞減．
h（x）_min=h（）=（ln-lnb）+a＜（lnlnb）+a=＜=＜0
∴當(dāng)＞時(shí)恒成立                           …（11分）
綜上所述，e≤＜7                            …（12分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性和最值的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．