Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，有S_n、a_n、n成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1，若{b_n}為等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，2a_n=S_n+n
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+1
∴a₁=1
n≥2時(shí)，2a_n-1=s_n-1+n-1
兩式相減得，2a_n-2a_n-1=a_n+1
∴a_n=2a_n-1+1
令1+a_n=d_n，d₁=a₁+1=2
當(dāng)n≥2時(shí)，=2
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)
∴， …（4分）
（Ⅱ）==
∴
=
（Ⅲ）∵b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1=
∴b₂=λb₁+2=3λ+2
∵{b_n}為等比數(shù)列
∴
∴9λ²+12λ+4=9λ²+6λ+12
∴
此時(shí)
當(dāng)時(shí)，b₁=3，b₂=6，q=2
∴
∴b_n+1===3•2ⁿ
滿足
∴ …（12分）
分析：（Ⅰ）依題意，2a_n=S_n+n，當(dāng)n=1時(shí)，可求a₁，n≥2時(shí)，由2a_n-1=s_n-1+n-1，兩式相減得，a_n=2a_n-1+1，可證明，進(jìn)而可求通項(xiàng)
（Ⅱ）==，利用分組，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求數(shù)列的和
（Ⅲ）由 {b_n}為等比數(shù)列 可得，結(jié)合已知遞推公式代入可求λ
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列，及通項(xiàng)公式的求解，分組求和方法的應(yīng)用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性