Question

（本題滿分14分）以下是有關(guān)橢圓的兩個問題：

問題1：已知橢圓，定點A(1, 1)，F(xiàn)是右焦點，P是橢圓上動點，則有最小值；

問題2：已知橢圓，定點A (2, 1)，F(xiàn)是右焦點，

P是橢圓上動點，有最小值；

(Ⅰ)求問題1中的最小值，并求此時P點坐標(biāo)；

(Ⅱ)試類比問題1，猜想問題2中的值，并談?wù)勀阕鞔瞬孪氲囊罁?jù)．

 

Answer 1

【答案】

．⑴，當(dāng)且僅當(dāng)A, P, M三點共線時取到最小值，此時點P的坐標(biāo)為（）；

⑵時|PA|+m|PF|=|PA|+med =|PA|+d，當(dāng)P、A、B三點共線時，有最小值．

【解析】本試題主要是考查了橢圓中距離的最值問題的求解，

（1）在第一問題中利用第二定義可知

故，當(dāng)且僅當(dāng)A, P, M三點共線時取到最小值，此時點P的坐標(biāo)為（）；

（2）猜想（8分）②理由：問題1中的數(shù)是橢圓的離心率的倒數(shù)，猜想問題2中的常數(shù)m也是橢圓離心率的倒數(shù)，也用上述的方法得到結(jié)論。

解：⑴注意到橢圓的離心率，右焦點F()，右準(zhǔn)線．過點P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由橢圓第二定義，

故，當(dāng)且僅當(dāng)A, P, M三點共線時取到最小值，此時點P的坐標(biāo)為（）；（6分）

⑵①猜想（8分）②理由：問題1中的數(shù)是橢圓的離心率的倒數(shù)，猜想問題2中的常數(shù)m也是橢圓離心率的倒數(shù)（9分）

另一方面，從解題角度來看，問題1利用橢圓的第二定義，問題2也可利用類似方法解決最小值問題：設(shè)點P到橢圓的右準(zhǔn)線距離為d，由橢圓第二定義，|PF|=ed，則|PA|+m|PF|=|PA|+med．當(dāng)me=1，即時|PA|+m|PF|=|PA|+med =|PA|+d，當(dāng)P、A、B三點共線時，有最小值．（14分）（配合圖像說明）